Avalanches

Cyrille GIREL
Alexis MOUGIN
Bruno PALARIC
IUP 3-2
Anne MANGENEY
Philippe HENRICH
J.B. CLAVAUD
Année 1998 - 1999

Nous remercions Monsieur Jean-Pierre Frangi, directeur de l’IUP “Génie de l’Environnement” et Monsieur Claude Jaupart, Responsable du département.“Dynamique des Systèmes Géologiques” de l’Institut de Physique du Globe de Paris pour leurs aides logistiques et les locaux mis à notre disposition. Pour la proposition de projet et leurs apports de connaissances, nous tenons à remercier Madame Anne Mangeney et Monsieur Philippe Henrich. Nous remercions également Monsieur Jean Baptiste Clavaud sans lequel la partie physique théorique de notre projet n’aurait pas pu être réalisée avec autant de facilités. Pour ses précieux conseils techniques et ses réalisations, nous remercions J.P. Rambaud. Pour toute l’aide qu’elle a pu nous apporter, pour sa gentillesse et sa patience, nous remercions aussi Madame Hassiba Lazar. Nous remercions O.Pouliquen et S.Douady pour les conseils sur la manipulation et l'interprétation des résultats obtenus. Pour finir, nous remercions les bennes techniques (poubelles) de Jussieu, qui, par leurs aides matérielles, ont participé à la bonne santé financière de l’IUP.

C'est une commune passion pour la montagne et tous les phénomènes qui s'y rapprochent, qui nous a fait choisir ce sujet d'étude dans le cadre de notre projet industriel. La montagne présente un grand nombre de mystères que nous ne maîtrisions pas dont les avalanches font partie. Cette année notamment restera tristement célèbre pour les dégâts causés par des écoulements violents et importants de neige totalement imprévus.

L'origine, la formation, le déclenchement, l'écoulement, la direction, la force, la vitesse, etc.… sont des paramètres majeurs des avalanches qui connaissent un regain d'intérêt de nos jours. Ils touchent tous à un domaine de la physique qui est de plus en plus étudié, la physique des milieux granulaires. Celui-ci recèle encore de nombreuses découvertes à effectuer, si bien que certaines interrogations concernant des problèmes, à première vue toute simple, restent sans réponse. Comme le dit si bien Pierre Gilles de Gennes "Certaines questions, tout à fait primaires, n'ont pas encore reçu de réponses claires. Par exemple : nous versons un tas de sable sur le plancher d'un appartement en construction : quelle est la répartition du poids créé par le tas? Et dépend-elle de la façon dont nous l'avons versé?".

De nos jours, de nombreux physiciens s'intéressent à ce domaine en expansion. Les applications sont en effet nombreuses et les domaines concernés sont variés puisqu'ils vont de l'agriculture (remplissage des silos à grains) à l'exploration spatiale (étude des anneaux de Saturne) en passant par le BTP (élaboration de bétons performants). Pour toutes ces raisons, on comprend combien l'intérêt pour la physique des milieux granulaires est grand. Pour notre part, notre volonté de percer un des mystères de la montagne à l'aide d'outils physiques est un moyen de se rapprocher de ce milieu, de mieux le connaître. Par ailleurs un tel sujet peut sembler être d'une approche plus physique qu'environnementale, mais il en est au contraire plus que lié. Et c'est ce que nous tenterons de démontrer lors de l'exploitation de nos résultats.

Il est à noter que, tout comme nous, l'équipe d'encadrement et le personnel de l'IPGP se sont montré fort intéressé par le sujet de notre étude. Voilà pour les diverses raisons qui ont motivé notre choix.

Comme cette année a pu nous le montrer, les avalanches restent parmi les catastrophes naturelles les moins prévisibles. Les habitants des zones à risques ont appris à s'en protéger, ou à s'en éloigner. Les principes qui régissent ces écoulements, qu'ils soient de neige ou de pierres, sont peu connus. Un des outils développés pour appréhender ces phénomènes est la modélisation analogique. En France des équipes de chercheurs tentent de reproduire ces phénomènes en laissant s'écouler des matériaux sur des plans inclinés. Notre projet s'inscrit dans le cadre d'une de ces recherches en partenariat avec le CEA, l'IPGP, et l'IUP Génie de l'environnement (Paris VII). Le but est de mettre au point une maquette permettant d'étudier des écoulements granulaires. Durant les deux semaines de manipulations, la validation de notre système (plan incliné et type de matériau utilisé) a été effectuée en comparant nos observations avec ceux réalisés lors d'une étude antérieure [O.Pouliquen (1998)].

Cette validation consiste à mesurer systématiquement, pour tout écoulement en régime uniforme, la vitesse moyenne en fonction de l'angle d'inclinaison de la surface rugueuse et de la hauteur de l'écoulement. Ces mesures et leur représentation graphique aboutissent à une description empirique des écoulements granulaires sur un plan incliné. Plus concrètement elles permettent d'établir une loi empirique donnant le coefficient de frottement en fonction de la vitesse et de la hauteur de l'écoulement. Celui-ci est un paramètre clé de la modélisation de ces écoulements.

Pour commencer, il nous faut présenter les principales caractéristiques physiques des écoulements granulaires et des avalanches. La description de notre système de manipulation ainsi que le protocole d'expérimentation seront ensuite décrits avec précision. Une présentation succincte de l'étude de O.Pouliquen sera effectuée avant d'aborder l'exposition de nos résultats et leur interprétation. Une dernière partie exposant les résultats obtenus regroupera la validation de notre dispositif et du protocole mais aussi une rapide étude d'expériences réalisées avec des obstacles sur le trajet de l'avalanche.

Les régions de montagne sont le lieu d'écoulement d'avalanches de rocher, de neige ou de glace. Le terme avalanche désigne un écoulement naturel gravitaire sur une pente. En ce qui concerne les avalanches de neige, cette définition recouvre une large gamme d'écoulements dans la composition, qui va de l'avalanche de neige dense à l'avalanche de neige poudreuse. Dans les années cinquante, l'ensemble de ces écoulements a été abordé par une théorie issue de l'hydraulique. Ces deux types d'écoulements dense et aérosol sont maintenant décrits par des théories complètements séparées.

L'étude des écoulements de type aérosol est basée sur l'analogie avec les courants de densité. L'avalanche (air + particules) est généralement considérée comme un fluide newtonien et son écoulement est turbulent et pleinement développé. Par contre, les écoulements denses (ou avalanches coulantes), ne développant pas d'aérosol sont couramment assimilés à un milieu continu de rhéologie complexe, auquel on applique les lois de conservation de la mécanique des fluides.

Les matériaux constitutifs des avalanches naturelles de type "dense" sont des rochers fracturés, de la neige et de la glace avec présence ou non d'eau. Le cas des écoulements granulaires secs a depuis longtemps fait l'objet de recherches en termes de rhéologie (étude de la viscosité, de la plasticité, de l'élasticité). Plusieurs recherches théoriques ont notamment traité des lois d'écoulements des matériaux granulaires. Haff (1983) a décrit les limites de l'assimilation d'un matériau granulaire à un fluide simple. Des différences importantes existent entre le grain et la molécule tant au niveau de la masse qu'au niveau du diamètre. Le grain de sable est 10¹⁸ fois plus lourd et plus volumineux qu'une molécule d'eau. L'interaction entre molécules est complètement élastique alors que l'interaction grain - grain peut se faire aussi bien par collisions que par friction et s'accompagne toujours de perte d'énergie. La granulométrie étalée, la forme non régulière des grains, et le fait que le choc grain - grain ne soit pas toujours centré, créent de nouvelles difficultés que la théorie doit prendre en compte pour l'établissement des lois de comportement pour les matériaux granulaires. Cependant le manque de temps et nos connaissances limitées dans ce domaine font que nous ne tiendrons pas compte de cet état de fait, mais il restera présent dans notre esprit tout au long de nos manipulations.

Dans le cas d'un aérosol, le matériau en écoulement est une suspension de particules de neige dans de l'air. La taille des particules est le plus souvent de l'ordre du millimètre. La masse volumique du mélange est de quelque dizaine de kg / m³. Durant la phase de l'écoulement, la vitesse de chute des particules, de l'ordre du mètre par seconde, est négligeable devant la vitesse caractéristique de l'avalanche qui dépasse la dizaine de mètres par seconde et peut atteindre la centaine de mètres par seconde. Ce type d'avalanche ne se rapprochant que de très loin de nos écoulements artificiels, nous n'approfondirons pas sa description.

Dans le cas d'une avalanche coulante, le matériau est de la neige ou des blocs de glace. La concentration volumique en glace ou neige est importante. La masse volumique du mélange est généralement comprise entre 200 et 700 kg / m³. Le matériau est compressible surtout à cause de la grande compressibilité de la neige elle-même mais également parfois à cause du caractère dilatant du matériau, celui-ci étant constitué de boules-de-neige. Ainsi il n'est pas rare de voir la masse volumique du matériau tripler entre la mise en mouvement de l'avalanche et son arrêt.

L'avalanche est un écoulement gravitaire généralement rapide. En effet, la gravité joue un rôle moteur à la fois lors du déclenchement et de l’écoulement de l’avalanche. Pour tenter de quantifier ce rôle, on peut calculer le nombre de Froude Fr = U / Ö(gH) , (où U est la vitesse moyenne de l'avalanche, H sa hauteur moyenne et g la gravité). La morphologie des écoulements denses est relativement simple et n'est pas sans rappeler celle des laves torrentielles ou volcaniques. Généralement, une coupe en long de l'avalanche (à un moment donné) permet d'identifier les parties successives appelées front, corps et queue de l'avalanche.

La cinématique au sein de l'écoulement qui dépend largement de la nature du matériau montre :

- le caractère plutôt laminaire de l'écoulement (faibles fluctuations des vitesses et de la surface libre).
- un profil de vitesse selon la hauteur dans l’écoulement qui peut être linéaire ou avec un gradient pratiquement constant, sauf sur une fine couche limite à la base.
- la possibilité d'une vitesse de glissement (sur une surface neigeuse)

Le phénomène de reprise (érosion) joue un rôle important, mais reste encore mal compris. Selon une hypothèse communément partagée, la neige est mise en mouvement par cisaillement du manteau neigeux au passage de l'avalanche ou bien à la suite d'une rupture provoquée par la surcharge imposée par l'avalanche. L'augmentation de masse est sans doute à même d'accélérer l'écoulement (à travers l'augmentation d'énergie cinétique) et/ou d'augmenter la distance d'arrêt. En revanche, on ne sait pas si l'absence de reprise a une influence particulière sur les écoulements. Nous ne traitons pas ici ce phénomène. En effet, le socle rugueux de l'expérience développée ici, est composé de billes collées. D’autres expériences consistent à faire s’écouler des billes sur une masse de billes "immobiles" [Douadi et al. 1999].

Pour de décrire les avalanches, plusieurs type modèles ont été développés. Avant toute chose, on peut remarquer qu'un modèle d'avalanche est une représentation simplifiée de la réalité qui doit rendre compte de phénomènes complexes. Les mécanismes élémentaires (rhéologie, reprise, etc.) sont en outre généralement mal connus ; de ce fait, il n'est possible de vérifier la pertinence d'un modèle qu'à travers sa formulation globale et non par l'examen individuel des mécanismes qu'il tente de représenter. Ceci rend très difficile la confrontation entre modèle et réalité. Cette grande complexité a motivé au fil de ces dernières années un très grand nombre d'axes de recherche, dont on dresse ici un rapide panorama.

- les modèles mathématiques : modèles qui permettent de caler une certaine réalité physique sans se soucier réellement des mécanismes sous-jacents. Cette dénomination recouvre surtout les modèles statistiques et probabilistes.

- les modèles "maquette" : on cherche à modéliser un écoulement en créant un écoulement similaire à échelle réduite. On peut distinguer les modèles analogiques, qui ne font qu'exploiter la similarité d'apparence entre écoulements naturels et à échelle réduite, et les modèles en similitude, pour lesquels le modèle réduit doit satisfaire un certain nombre de critère de similitude (géométrique, mécanique, etc.) qui permettent d'extrapoler les résultats aux écoulements en vraie grandeur. Dans ce dernier cas, les critères de similitude sont issus d'une mise sous forme adimensionnelle des équations du mouvement, ce qui exige une connaissance préalable de la rhéologie du matériau en écoulement. En bref, un modèle analogique ne donne que des renseignements d'ordre qualitatif et un modèle en similitude permet de quantifier les résultats et de les rendre exploitables à condition que les critères de similitude soient remplis.

- les modèles empiriques : Procédure de calcul qui se fonde sur un cadre théorique, mais qui à cause du nombre d'hypothèses et d'approximations requises, a recours à des formules empiriques et nécessite le calage d'un certain nombre de ses paramètres.

- les modèles physiques : L'objet est de fournir un système complet d'équations décrivant les mécanismes sous-jacents au phénomène, puis de le résoudre (le plus souvent numériquement) pour connaître l'évolution d'une avalanche pour des conditions initiales et aux limites données.

- les modèles symboliques : L'objectif est de proposer une évaluation du risque d'avalanche en imitant le raisonnement déductif de l'expert.

En France, il faut dénombrer annuellement en moyenne 25 morts, essentiellement des skieurs et des randonneurs, et guère plus de 150 victimes sur l'ensemble des Alpes. Pourtant, dans une montagne qui semble domptée, des épisodes météorologiques et catastrophiques (Chamonix, février 99) ne cessent de rappeler que l'avalanche est une constance du paysage alpin hivernal. De fait, en Europe, l'augmentation de la fréquentation, essentiellement liée au tourisme et l'écoulement de marchandises, a motivé un développement croissant d'infrastructures(stations, routes, équipements en altitude, etc.) dans des zones particulièrement avalancheuses. Cela a été et reste encore un grand défi de l'ingénierie de permettre d'assurer au mieux, et si possible au quotidien, la protection des personnes et des biens. Cet effort de protection passe à la fois par la capacité de prévoir les événements (prévision nivo-météorologique) et de gérer le risque (génie paravalanche).

Pour évaluer les risques liés au avalanches, la modélisation constitue un outil qui permet de quantifier entre autre les zones pouvant être touchées, la vitesse d’impact,…Il est nécessaire d'avoir recours à des modèles qui permettent de quantifier un certain nombre de paramètres

La modélisation des avalanches s'est faite selon diverses approches, sans qu'aucune n'ait pu réellement faire ses preuves ou ne se dégage comme la plus efficace. A l'heure actuelle, il semble néanmoins que les efforts des chercheurs se concentrent sur les essais en similitude et les modèles physiques. En l'absence de modèles rigoureux, l'ingénieur dispose pour son expertise d'une palette d'outils variés : cartographie, modèles, bases de données, etc. Le modèle n'est qu'un outil parmi d'autres, dont l'expert doit de toute façon vérifier les prédictions et les intégrer dans un raisonnement complexe en observant les souhaits du maître d'ouvrage ou du décideur.

On peut alors se demander à quoi sert le modèle scientifique dans une expertise du risque d'avalanche?

En fait :
- il sert pour l'ingénieur à fixer un ordre de grandeur de certains paramètres intervenant dans un dimensionnement d'ouvrage, mais la pertinence de ses prédictions n'est pas toujours prouvée.
- le modèle est un moyen de communication pratique entre le maître d'œuvre et le décideur dans le choix des options à prendre
- enfin, il faut reconnaître qu'un modèle scientifique apporte une certaine garantie, qui réconforte aussi bien l'utilisateur que le client : l'aspect scientifique d'une expertise apparaît comme un gage de sérieux.

De nombreuses expériences sur ces écoulements ont été mises en place dans diverses conditions (plan incliné lisse ou rugueux, différents types de matériaux qui s’écoulent). Les principales conclusions sont les suivantes :

1) Lorsque le plan est lisse, l'écoulement est uniforme à partir d’un angle critique. En dessous de cet angle, le matériau s'arrête, au-dessus de cet angle, l'écoulement accélère continuellement le long du plan. Ce système est très bien décrit par un coefficient de friction constant.

2) Dans le cas d’un plan rugueux, l’accélération de l'écoulement est également constatée à des angles d’inclinaison élevés. Dans ce régime à grande vitesse, le comportement du matériau est bien décrit par un coefficient de friction constant indépendant de la vitesse.

3) Pour des valeurs intermédiaires des angles d'inclinaison et dans le cas d’un plan rugueux, les écoulements uniformes sont observés pour une large gamme d’angles. Dans ce cas, les forces de frottement peuvent contrebalancer la force de gravité. Mais aucune description claire ne sort des différentes expériences.

D’un point de vue théorique, la principale difficulté dans la description des écoulements granulaires sur un plan incliné est qu’ils passent par un régime d’écoulement intermédiaire dans lequel la friction entre les grains et la collision jouent un rôle important. De plus la comparaison directe et quantitative entre les expériences et les simulations est difficile car des paramètres inaccessibles à la mesure entrent dans le modèle. Une étude réalisée d'un point de vue plus empirique sera présenté pour décrire ce dernier régime, celle d'O. Pouliquen.

Le but est, à partir de mesures précises et continues de la vitesse moyenne, de déterminer expérimentalement la variation de la vitesse en fonction de l’inclinaison et de la rugosité du plan, et en fonction de l’ouverture de la réserve contenant la masse de bille initiale.

Le travail d'O. Pouliquen présenté ici, consiste à mesurer, pour tout écoulement en régime uniforme, la vitesse moyenne en fonction de l’angle d’inclinaison de la surface et de la hauteur h de l’écoulement. Les résultats obtenus pour différents systèmes sont représentés sur une même courbe donnant le h minimum (soit hstop) en fonction de l'inclinaison q pour un écoulement uniforme. Ces observations expérimentales permettent de dégager une loi empirique, donnant le coefficient de friction dynamique en fonction de la vitesse et de la hauteur de l'écoulement.

La connaissance de cette loi de friction permet de donner une première description des écoulements, qui semble grossièrement contrôlés par l'équilibre entre la gravité et la force de frottement.

Le plan est constitué d’une planche de 2m de long et de 70cm de large qui peut s’incliner jusqu’à un angle de 35°. Les 70cm de large assurent que les mesures ne sont pas affectées par les conditions en bordure du canal qui sont susceptibles d'influencer l’écoulement. Le matériau granulaire s’écoule d’un réservoir à travers une guillotine dont l’ouverture est précisément contrôlée.

Les particules utilisées pour l’écoulement comme pour le revêtement de la surface sont des billes de verre. Ainsi 4 systèmes différents ont pu être expérimentés par O. Pouliquen (nous n'avons utilisé qu'une seul sorte de bille à 0.5 mm pour nos expériences):

Système	Diamètre des billes d’écoulement (mm)	Diamètre des billes de revêtement (mm)
1	0.5 +/-0.04	0.5
2	1.3+/-0.13	1.3
3	1.15+/-0.1	1.3
4	0.5+/-0.04	1.3

Systèmes 3,4 sont des conditions différentes de rugosité entre l'écoulement et la surface.

Systèmes 1,2 correspondent à priori aux mêmes conditions à des diamètres différents.

Dans les expérience de O. Pouliquen, les lits du canal diffèrent un peu par les conditions de rugosité pour le lit fait avec des particules de 0.5 mm 72% de la surface est recouverte alors que pour le lit de particules de 1.3mm 76% de la surface est recouverte. Nous verrons que cette différence a des conséquences importantes sur les mesures de vitesse.
Les mesures de vitesse de l'écoulement granulaire à différentes inclinaisons et pour différentes hauteurs d’écoulement ont été systématiques. La méthode utilisée était de filmer l’évolution du front de propagation en utilisant un processeur d’images.

Dans la gamme d’angles compris entre 20° et 28° le front atteint rapidement un état stationnaire (hauteur vitesse). La vitesse du front correspond à la vitesse de l'écoulement uniforme qui lui succède. En utilisant des billes uniformes, il évite la formation de doigts liés à une instabilité (hétérogénéité des grains). Cette méthode est très précise pour des vitesses faibles, mais devient moins performante pour les écoulement rapides car le front présente alors de plus en plus de particules en saltation. Dans le pire des cas, l’erreur est estimée à 10%.

L’autre paramètre expérimental à mesurer est la hauteur du écoulement. Celle-ci est très bien contrôlée par l’ouverture de la guillotine, mais n'est pas égale à cette hauteur. Pour cette mesure, une région instable est à éviter. Elle se situe entre 20 et 50 cm. La mesure s’effectue donc plus loin de la source grâce à une méthode optique qui consiste en l’utilisation d’un laser ayant un angle incident faible. Lorsque l'écoulement se déplace le laser est décalé de sa position initiale. Ce décalage est proportionnel à la hauteur de l’écoulement et inversement proportionnel à la tangente de l’angle incident. Pour des angles suffisamment petits, la précision estimée est de +/- 0.2mm.

Pour les expériences utilisant des matériaux granulaires une partie des difficultés expérimentales reposent sur les interactions électrostatiques et les effets de l’humidité. Pour minimiser cela nous avons fait passer les billes à travers une grille métallique raccordée à la terre avant chaque expérience. L’influence de l’humidité est plus difficile à contrôler. Au lieu de travailler à humidité constante (ce qui est difficile à obtenir) chaque séquence d’expériences est réalisée en une journée. Lorsque le temps est stable l’humidité varie de moins de 5%.

2) Résultats expérimentaux.

O. Pouliquen (1999) montre également dans la suite que la vitesse mesurée dépend également des conditions de rugosité.

On constate que la vitesse augmente avec l’angle et la hauteur d’écoulement. En comparant les résultats obtenus avec des dimensions identiques des paramètres, on déduit que l'écoulement est sensible aux changements de taille des billes et de conditions de rugosité.

L’influence de la rugosité avait déjà été observée et étudiée en détail dans le cas de l’écoulement d’une bille unique sur une surface rugueuse. Puis l’idée est venue de mettre toutes les données sur une seule courbe en fonction d’une caractéristique autre que le diamètre des billes.

Pour les 4 systèmes, les données sont regroupées sur une même droite. La courbe de la figure 5 qui est séparée des autres a été obtenue pour un angle de 25° pour le système2, l’angle le plus élevé pour le système. Il n’a pas d’explications pour cela. Les écoulement à cet angle sont rapides, mais paraissent atteindre un régime stationnaire. Beaucoup de particules sont en saltation dans le front du écoulement, ce qui peut affecter les mesures.

Si l’on excepte la courbe du système 2 à 25°, le nombre de Froude (figure 5) varie linéairement avec h/hstop(q) (épaisseur caractéristique adimemsionnée de l’écoulement) :

avec b = 0.136 indépendant de l’inclinaison, de la distribution de taille et de la rugosité du plan.

Il faut noter que pour une inclinaison constante l'équation empirique prédit une loi en puissance 3/2 pour la variation de la vitesse avec la hauteur h, ce qui est compatible avec les résultats obtenus par d’autres auteurs.(Vallance et Azana).

hstop(q) limite la région de l'écoulement mais elle contient également toutes les informations sur l’influence sur la dynamique de l'écoulement de l’inclinaison et des autres paramètres comme la distribution de taille ou la rugosité du plan. hstop(q) (qui a été retrouvée dans d’autres études) n’est pas encore totalement comprise mais est connue comme le résultat d’effets complexes. Une explication a été apportée en termes de dilatation. Près du plan, les particules ont plus de mal à s’écouler, car elles ressentent la rugosité du plan qui est rigide. Comme la courbe hstop(q), il apparaît aux vues des graphiques présentés que l'écoulement est peut-être entièrement contrôlé par les effets. Cela signifie que l’écoulement granulaire sur un plan incliné ne résulte pas uniquement de la rhéologie intrinsèque du matériau granulaire mais aussi de l’influence complexe de la rugosité du plan. L’importance de ce phénomène explique peut-être la différence avec les résultats obtenus sur une surface libre dans un tambour tournant. Dans ce dernier cas, le phénomène n’existe pas.

En régime d’écoulement stationnaire, l'écoulement résulte du rapport entre la gravité et la force de frottement qui apparaît au niveau du plan.

On a : rghsin(q) = t avec r : densité du milieu granulaire et t la force de frottement.

Si on divise par rghcos(q) on obtient : Tan(q) = m(v,h) Des mesures systématiques de vitesse, on peut déduire qu’il est possible de trouver la variation de m avec v et h simplement en remplaçant tan(q) par m dans l’équation :

Pour faire cela on a besoin d’une expression analytique de la fonction hstop(q). Une bonne solution est :

avec d : diamètre des billes q₁: angle où hstop(q) diverge q₂: angle où hstop(q) disparaît L : la plus petite épaisseur au-dessus de laquelle qstop(h) varie Les valeurs sont données dans le tableau suivant:

Pour des inclinaisons fortes, l'écoulement accélère le long du plan incliné et comme cela est prédit, il est bien décrit par un coefficient de frottement constant et indépendant de la vitesse. Pour des inclinaisons faibles, cette description n’est alors plus compatible avec la réalité.

- la première concerne les régimes de grandes vitesses. Elle prédit que le coefficient de frottement tend vers tanq₂ lorsque la vitesse tend vers l’infini. Le fait qu’il existe une limite supérieure à ce coefficient implique ( aux vues de Tan(q) = m(v,h)) qu’aucun écoulement uniforme ne peut être obtenu pour un angle supérieur à tanq₂. Cette prédiction est compatible avec les études en laboratoires qui ont permis de montrer que pour des grandes inclinaisons l'écoulement est uniformément accéléré et bien décrit par un coefficient de frottement constant et indépendant de la vitesse.

- En ce qui concerne les faibles vitesses n’est pas très bien décrit par la relation précédente. Si l’on s’y réfère un écoulement uniforme peut être observé pour toute épaisseur tant que l’angle d’inclinaison est supérieur à tanq₁; ce qui est en contradiction avec hstop(q). Il ne faut pas oublier que l’expression du coefficient de frottement dérive de l’expression de la vitesse qui n’est validée que pour des h>hstop ou pour >b. L’équation du coefficient est donc aussi soumise à cette condition. Au-dessous de cette limite, le coefficient de frottement présent quelques variations de vitesse, comme cela est suggéré par l’arrêt soudain du matériau observé lors des expériences avec diminution d’épaisseur.

Avant de pouvoir entreprendre toute étude, il va falloir fabriquer notre matériel d'expérimentation. C'est de cette construction dont il est question dans cette partie.

Dès le départ, nous savions que le choix de ce sujet impliquerait un travail manuel non négligeable. Avec le peu de temps qu'il nous était imparti et afin de minimiser le budget, nous avons donc choisi de construire une maquette simple dont le schéma est représenté en figure 1.

Pour construire notre montage et régler les quelques soucis techniques qui en découlent, un atelier où nous a été mis à notre disposition. Par ailleurs, M. Rambaud et M^me Lazar nous ont été d’un grand secours pour tous les travaux délicats qu’il a fallu effectuer ou faire effectuer par les techniciens de l’Université. L’idée générale a été de construire un plan incliné à l’aide d’une planche de bois de 1750 mm x 750 mm. Celle-ci est fixée par des charnières sur une planche de support très lourde et donc stable. Elle possède des pieds à hauteur réglable pour travailler parfaitement à plat. Des cornières trouées de 2 m de long sont fixées à la perpendiculaire de la planche de support. Elles serviront à supporter le plan incliné à la hauteur voulue. Celles-ci sont dimensionnées de telle manière que l’on puisse incliner la planche de 10° à 45°. L’ensemble est renforcé à l’aide de cornières de renfort. Pour ce qui est du plan incliné proprement dit, nous l’avons muni sur ces deux bords, sur toute la longueur, de vitre en Plexiglas. Ceci afin d’éviter que les particules ne s’échappent par les bords et également dans le but d’observer les écoulements sur le coté. Les dimensions de ce plan n’ont pas été fixées au hasard. La largeur nous permet de nous affranchir des effets de bord pour ce qui est de l’écoulement au centre du plan. La longueur est suffisante pour que l’écoulement puisse se stabiliser et que nous ayons une plage d’observation de la partie stabilisée assez grande. Le départ des particules est géré par une réserve d'une dizaine de litres disposée en haut du plan incliné. Une guillotine avec hauteur réglable nous permet de contrôler l’épaisseur de l’écoulement selon une relation que nous tenterons de définir plus tard. Nous disposons d’un bac en bois pour récupérer les billes en fin d’écoulement. Une couverture en plastique est maintenue entre le plan et le bac afin d’éviter les fuites. Le plan est gradué sur sa longueur et sur sa tranche (vitres en Plexiglas).

Figure 7 : Angle d'inclinaison de la maquette

2) Protocole :

Dans cette partie, nous décrirons nos expériences.

Pour étudier les écoulements que nous désirons simuler, nous disposons de la maquette, de 2 caméscopes 8 mm, d'un moniteur de contrôle, d'un appareil photo numérique, d'un pointeur laser et de 25 kg de billes de verre.

Il faut d'abord expliquer le choix de la nature des particules destinées aux écoulements. Nous recherchions un matériau homogène en taille et parfaitement sphérique. Des billes de verre de 500 µm ± 5% de diamètre ont été retenues. Elles correspondent aux tailles déjà étudiées pour ce type d'écoulement. Nous pourrons donc comparer nos résultats. De plus, elles sont suffisamment grosses pour que leur manipulation ne soit pas trop compliquée et qu'il n'y ait pas de mise en suspension d'aérosols lors de l'écoulement.

Le premier écoulement a été réalisé afin d'établir la rugosité de notre plan incliné. Pour simplifier le système étudié et dans un souci d'économie, celui-ci sera représenté par un lit de bille de 500 µm. La partie la plus délicate a été la fabrication de ce lit. Pour cela nous avons fixé à la bombe autocollante sur le plan incliné un papier Vénillia à l'envers. Une fois la face collante du Vénillia découverte, les billes ont été appliquées sous la forme d'un lit monocouche avec un pourcentage de couverture de surface de 63 % (après comptage du nombre de billes sur un centimètre carré).

En nous inspirant des travaux de O. Pouliquen, nous avons choisis de mesurer la vitesse et l'épaisseur de l'écoulement. Tous les essais sont filmés à l'aide des caméras. L'une est disposée au-dessus du plan incliné. Trois marques espacées de 20 cm sont dessinées sur le lit de bille. Les images sont ensuite traitées par informatique à l'aide du logiciel Adobe Première© (logiciel de montage vidéo) pour le calcul de la vitesse de l'écoulement.

La mesure de l'épaisseur a d'abord été effectuée au niveau des vitres de Plexiglas par la deuxième caméra grâce aux graduations. Cependant les effets de bord étant un phénomène que nous ne contrôlons pas, il nous fallait mesurer cette épaisseur au milieu de l'écoulement. Pour cela nous avons mis en place un dispositif utilisant un pointeur laser (figure 8). Celui-ci est dirigé avec une faible incidence vers le centre du plan incliné. Son faisceau est diffracté à l'aide d'un tube de verre afin d'obtenir une "feuille". Le trait lumineux obtenu est alors disposé parallèlement à l'écoulement. Nous avons alors défini une hauteur H₀ correspondant à la hauteur 0, sans écoulement, une hauteur Hmax, lorsque la hauteur de l'écoulement est maximum et Hstop, épaisseur à la fin de l'écoulement. Plus l'épaisseur de l'écoulement est grande, plus le trait lumineux se translate vers le bord du système. Ce déplacement est proportionnel à cette épaisseur selon la formule retrouvée d'après la figure 4:

Figure 8 : Vue de profil de l'écoulement

Figure 9 : Calcul de l'épaisseur de l'écoulement à l'aide du pointeur laser

Le déplacement du laser est filmé. Le traitement des images nous permet de mesurer Hstop et Hmax.

Pour le calcul de Hstop pour les faibles angles, il nous a paru judicieux d'utiliser une autre méthode plus simple. A chaque angle correspond un Hstop indépendant de l'ouverture de la guillotine. Une fois la réserve remplie, le plan a été levé jusqu'à ce que l'écoulement soit stable. En faisant "décrocher" les billes d'elles mêmes, et en les laissant s'arrêter toute seules, il ne restait plus qu'a mesurer la hauteur Hstop correspondante avec un réglet. Il n'est pas utile de redescendre le plan, la hauteur Hstop étant de plus en plus mince au fur et à mesure que q augmente.

Afin de nous affranchir des problèmes d'humidité et d'électricité statique qui jouent sur la cohésion des particules entre elles, les manipulations sont effectuées dans une salle climatisée. De plus nous avons disposé des cristaux de silicates (absorbeurs d'humidité) dans le bac de réception des écoulements. Nous nous sommes également rendu compte qu'au fur et à mesure des écoulements, les billes subissaient des phénomènes d'électricité statique croissants. Nous avons donc fixé au-dessus du réservoir une grille reliée à la masse. Celle-ci nous a permis de décharger les billes d'une partie de cette électricité statique lors de chaque remplissage de la réserve.

Nous avons étudié les différents écoulements obtenus pour différents angles (de 20° à 35°) et pour différentes épaisseurs.

Pour fixer l'angle d'inclinaison nous n'avons qu'à lever le plan incliné suivant les cornières trouées. La variation de q se fait en fonction de l'espace entre les trous, soit environ 1,5° en moyenne. Pour fixer l'épaisseur, il nous est impossible d'agir directement sur l'écoulement. Cependant l'épaisseur de celui-ci est directement lié à l'ouverture de la guillotine lors du déclenchement. L'ouverture de la guillotine est fixée à l'aide de cales. Celle-ci doit être effectuée d'un coup sec pour qu'elle influe le moins possible sur l'écoulement. A chaque angle, nous levions la guillotine de 1, 2, 4, 6 et 8 cm. Certain essais n'ont pas été concluants, c'est pourquoi ils n'apparaissent pas dans les tableaux.

A chaque essai, la réserve était remplie d'environ une vingtaine de kilos de billes. Nous avons procédé à une cinquantaine d'essais, tous filmés. Les données ont été traitées et les résultats représentés sous forme de graphiques.

IV Présentation des résultats et discussion.

1) Définition des classes de paramètre de l'écoulement uniforme.

Les premières expériences consistaient en la détermination du champ des paramètres pour lequel l'écoulement est uniforme (vitesse et épaisseur constante) (cf. annexe 1).

On détermine deux secteurs :

- le premier correspond à des inclinaisons trop fortes et h trop faibles, l'écoulement semble accélérer continuellement et h diminue continuellement. Cette limite supérieure n’a pas été précisément déterminée.

- la partie inférieure de la courbe sépare la région où l'écoulement est uniforme de celle où aucun écoulement uniforme n’est possible. Elle peut être déterminée précisément.

Une seule méthode donne de bons résultats pour déterminer cette limite de écoulement : L’expérience s’effectue à un angle constant et on diminue h jusqu’à la hauteur critique où l'écoulement s'arrête. Ceci est obtenu en fermant soudainement la guillotine lorsque l'écoulement est établi. Alors la hauteur diminue lentement, le matériel ralentit puis stoppe. Il reste alors une couche de matériau d'épaisseur hstop qui dépend de l’inclinaison. La fonction hstop(q) révèle que le matériau a plus de difficultés à s’écouler sur une surface rugueuse que lisse.

2) Mesures de vitesse du écoulement.

Les résultats des mesures de vitesses obtenus dans les régions d'écoulement uniforme sont présentées sous la forme des courbes

v = f(h/d) et = f(h/d) (annexes 2 et 3) pour différents angles d’inclinaison. Les vitesses intermédiaires et moyennes sont présentées en annexe 4. Ce graphique montre que la vitesse augmente lorsque la hauteur de l'écoulement est plus gande et que l’angle est plus fort. Si l’on suit l’idée de O.Pouliquen et que l’on représente les résultats en utilisant un autre dimensionnement : = f(h/h stop), les données se rassemblent toutes sur une même courbe. On donne alors une dépendance de notre courbe à l’angle d’inclinaison. Puisque hstop dépend uniquement de celui-ci (cf. annexe 5). On observe que les différentes courbes obtenues à divers angles semblent se regrouper sur une seule droite. Cette observation indique que l’influence de q sur la vitesse moyenne est contenue dans hstop(q) (cf. annexe 6). Hstop(q) ne contient pas uniquement les informations concernant l’influence de l’angle d’inclinaison mais tient également compte de la distribution de taille des billes et de la rugosité du plan incliné. Pour les angles élevés les données ne sont pas corrélées aux autres. Il n’y a pas d’explications à cela. Les écoulements à cet angle sont rapides mais paraissent atteindre un régime stationnaire. Cette absence de corrélation est peut-être lié à des phénomènes de saltation au niveau du front de l'écoulement. De plus les erreurs sont plus importantes sur les écoulements rapides.

3) Calculs d’erreurs.

La vitesse est calculée en fonction du temps que met l'écoulement à franchir 3 raies noires dessinées sur la surface du plan incliné. Les données brutes sont en images/cm, résultat que l’on peut convertir en m.s^-1 sachant que la caméra a une définition de 25 images par secondes. Le calcul est alors: Où t = temps en seconde mis par l'écoulement pour parcourir ces 40 cm. d = 0.4 m distance qui sépare le premier du dernier trait pour avoir une vitesse moyenne car nous avons également les vitesses intermédiaires sur 20 cm pour voir si l'écoulement est stable ou s’il accélère continuellement.

c) Erreur sur l’angle d’inclinaison.

L’angle d’inclinaison est calculé en fonction de la Tangente.

On obtient donc l’erreur sur l’angle en prenant l’Arc tangente de l’erreur trouvée sur la tangente.

On obtient alors les erreurs suivantes (tableau 1) :

Angle en ° Ouverture de la guillotine en cm Vitesse en m.s^-1 Hmax en mm Hstop en mm

25.8 +/-0.248 1 0.102 +/-2.54% 7.2 +/-4.77% 20 +/-0.5

2 0.244 +/-5.37% 14.75 +/-4.73%

4 0.416 +/-8.83% 17.55 +/-4.86%

27.2 +/-0.259 1 0.139 +/-3.27% 7.7 +/-4.73% 10 +/-0.5

2 0.278 +/-6.05% 11.9 +/-4.71%

4 0.55 +/-11% 16.71 +/-4.68%

28.6+/-0.277 1 0.192 +/-4.34% 5.31 +/-4.76% 5 +/-0.5

2 0.43 +/-9.19% 9.43 +/-4.77%

4 0.9 +/-18% 12.7 +/-4.73%

N’apparaissent ici que les résultats utilisés pour le tracé des courbes et l’analyse proprement dite.

4) Discussion.

Les graphiques présentés peuvent servir de méthode empirique pour prédire la vitesse d’un écoulement granulaire. Les mêmes observations que Pouliquen sont possibles, le nombre de Froude () varie linéairement avec h/hstop(q):

avec b = 0.08 indépendant de l’inclinaison, de la distribution de taille et de la rugosité du plan. Ce qui est moitié moins que le coefficient obtenu par O.Pouliquen.

b) Description en terme de coefficient dynamique de frottement.

Comme le dit Pouliquen en régime d’écoulement stationnaire, l'écoulement résulte du rapport entre la gravité et la force de frottement qui apparaît au niveau du plan. Une simple intégration sur la verticale des équations du mouvement sur un volume élémentaire donne l'égalité suivante : r.g.h.sin(q) = t avec r : densité du milieu granulaire et t la contrainte de cisaillement . On peut définir m le coefficient de fiction dynamique comme le rapport entre la constante de cisaillement et la contrainte normale. Tan(q) = m(v,h) Il faut bien retenir que ce coefficient de frottement m, lequel va être par la suite assimilé à une fonction de v et h, n’est pas une propriété du matériau mais décrit l’interaction entre le matériau et la surface rugueuse. Lorsque l’on fait une expérience à un angle donné et avec une épaisseur h, l'écoulement granulaire ajuste sa vitesse pour vérifier l’équation précédente. En d’autres termes, fixer l’inclinaison équivaut à fixer le coefficient de frottement m. Nos valeurs correspondant aux paramètres de l’expression de tan q (page 16) sont présentés dans le tableau suivant :

Diamètre des billes (mm) Diamètre des billes sur le plan (mm) q₁ (°) q₂ (°) L (cm)

Système 1 0.5+/-0.04 0.5+/-0.04 23 33.5 2

Concernant le champ de stabilité des écoulements, nous obtenons une courbe de forme similaire pour un système identique mais avec des angles supérieurs pour des hauteurs d'écoulement semblables. Le paramètre le plus influent sur l’écoulement est la rugosité. On peut supposer que les méthodes d’élaboration des lits de billes n’ont pas été les mêmes. En effet, le pourcentage de couverture du plan est plus important pour la maquette de Pouliquen (72 à 76 %). Le notre n’est que de 63 %. Notre plus grande rugosité peut expliquer la différence de résultats obtenue. Les conditions de manipulation ont également été différentes. En effet nous n’avons pas travaillé à hygrométrie constante. Cela peut avoir une influence, au même titre que les effets de l’électricité statique, sur la cohésion des grains et donc sur l'écoulement. L’homogénéité du diamètre de nos billes de verre est moins bonne que celle des billes utilisées par Pouliquen. La somme de ces différences de conditions opératoires semble être responsable des différences quantitatives observées. En ce qui concerne les autres courbes obtenues, les résultats sont qualitativement proches de ceux de Pouliquen mais on retrouve des différences quantitatives certainement liées aux mêmes raisons que celles énoncées précédemment. Enfin nous constatons que le coefficient de proportionnalité b est deux fois plus faible que celui obtenu par Pouliquen sur sa maquette. Sachant que ce coefficient ne dépend ni de l’inclinaison ou de la rugosité du plan, ni de la distribution en taille des billes, à l’instar de Pouliquen, nous n’avons pas d’explication à ce phénomène. En revanche, notre plus forte rugosité apparente est confirmée par l’expression analytique de m, coefficient de frottement :

En effet, tan q1 et tan q2 étant supérieurs à ceux obtenus par Pouliquen, on retrouve un coefficient de frottement m supérieur.

5) Exemple d'étude possible sur la maquette.

Des essais avec des obstacles permettent de constater l'influence de murs paravalanches sur un écoulement. Intuitivement, il apparaît que les obstacles sont d'autant plus efficaces que leur taille est importante. Cependant il nous paraît intéressant d'étudier le comportement de l'écoulement en fonction de la forme de l'obstacle et en fonction de la vitesse et de l'épaisseur de l'écoulement. Pour cela nous avons choisi trois types d'obstacles : des triangles creux d'angles 90, 45 et 30° et de bases respectives 6, 5,5 et 3,8 cm. Ils sont fixés au centre du plan incliné, au niveau de la zone où les écoulement sont homogènes. Comme nous l'avons décrit précédemment, nous pouvons travailler avec des écoulements que nous contrôlons par l'angle d'inclinaison du plan et l'ouverture de la guillotine. Notre choix s'est donc porté sur trois écoulement représentatifs : un premier lent et présentant des légères digitations ; un deuxième parfaitement uniforme ; et enfin le dernier très rapide où l'on distingue des saltations. Les vitesses et épaisseur hmax sont précisées dans le tableau 2.

Dès les premiers écoulements sur ces obstacles, nous avons remarqué 3 phénomènes importants :

- Il se forme une zone de protection sous l'obstacle. Celle-ci est de forme quasi-triangulaire. A l'aide du traitement informatique, les surfaces de ces cônes de protection ont été mesurées, elles sont présentées dans le tableau 2. On a considéré que ces cônes représentent des triangles équilatéraux. L'importance des erreurs s'explique par la difficulté dans la mesure des dimensions de ces cônes sur les images et dans l'approximation de leur forme. Ces zones correspondent à une partie du plan que l'écoulement n'atteint jamais. Des essais de répétabilité ont confirmé le fait que la surface ne varie que très faiblement si les conditions initiales sont constantes. Pour le même obstacle, elles sont sensiblement égales pour n'importe quelle vitesse d'écoulement. En revanche plus l'angle de l'obstacle est important, plus la surface de protection est grande. De même on remarque que pour une même base (les triangles 1 et 2), l'influence de l'angle de l'obstacle est prédominante

Obstacles		Angle du plan incliné (°)	Vitesse de l'écoulement (m.s^-1)	Epaisseur maximale du écoulement (cm)	Surface de protection (cm²)
Angle (°)	Base (cm)
90	6	24,3	0,05	4,5	10,6±2,4
90	6	25,8	0,10	7,2	10,0±2,4
90	6	28,6	0,43	9,4	13,2±2,7
45	5,5	24,3	0,05	4,5	7,8±2,1
45	5,5	25,8	0,10	7,2	7,8±2,0
45	5,5	28,6	0,43	9,4	6,1±1,3
30	3,8	24,3	0,05	4,5	1,0±0,7
30	3,8	25,8	0,10	7,2	1,0±0,7
30	3,8	28,6	0,43	9,4	4,6±1,6

Tableau 2 : Résultats des écoulements avec obstacle.

- On constate que les particules remontent les parois intérieures des obstacles. Ce phénomène est d'autant plus important que la vitesse de l'écoulement est faible.

- Les billes se stabilisent plus rapidement au bord de la zone de protection, sous l'obstacle, que le reste du écoulement. L'écoulement directement sous l'obstacle est donc moins épais et plus lent. L'écoulement confronté aux obstacles ne réagit pas exactement comme nous l'avions prévu. La taille et l'angle de l'obstacle sont les principaux facteurs qui influent sur l'écoulement. Cependant le phénomène de remontée des billes vers l'intérieur de l'obstacle et le cône de stabilisation de l'écoulement qui se forme sous celui-ci sont deux phénomènes surprenants dont l'étude mériterait d'être approfondie. Les applications de ce type d'étude sont tout à fait intéressantes pour la protection des habitations et des infrastructures des villages construits en zone d'avalanche. Conclusion Au regard de cette étude, nous avons tout d’abord réussi à faire fonctionner cette maquette qui, au début de ce projet, n’existait que dans notre imagination fertile Ensuite, ces travaux ont permis de tester la qualité de la maquette. En effet nous avons retrouvé une loi d’échelle reliant le nombre de Froude à la hauteur caractéristique de l’écoulement comme l'avaient mis en évidence des travaux antérieur. Cette relation fournit une méthode empirique pour déterminer des vitesses d’écoulement granulaire sans avoir à les mesurer (du moins dans des conditions similaires à notre maquette). D’autre part des observations quantitatives sur le rôle joué par des paravalanches (les obstacles) nous ont permis de faire les conclusions suivantes: La zone de protection est proportionnelle à l’angle et aux dimensions de l’obstacle. Par exemple un triangle isocèle de 4 cm de coté et d’un angle de 90° offre une protection d’une dizaine de centimètre carrés pour n’importe quel écoulement.

A l’instar de ces expériences, nous pouvons alors proposer d’autres pistes de travail sur la maquette.

- Déterminer la relation entre ouverture de la guillotine et épaisseur de l’écoulement

- Etude de lit de différentes rugosités - Approfondir l’étude de la forme des obstacles et de la zone de protection

- L’action d’une masse sur un écoulement à l’arrêt stabilisé (formation de digitation ou départ en plaque)

- Déclenchement d’écoulements par vibration.

Bibliographie

- Des grands écoulements naturels à la dynamique du tas de sable; B. Ildefonse C. Allain P. Coussot; CEMAGRF Edition1997.

- Atlas des avalanches; UNESCO 1981.

- Sables, poudres et grain; J. Durant; Eyrolles Sciences 1997.

- Les apports de la recherche scientifique à la sécurité neige, glace et avalanches; Actes de colloques de l’ANENA; CEMAGREF Editions 1995.

- La physique de l’état granulaire; O. Heinrich M. Jaege et Sidney R. Naguet; La Recherche; n° 249; Decembre 1992; Pages 1380 – 1387.

- Les avalanches, un risque dans le vent; P. Habert; La Recherche; n°273; Février 1995; Pages 182 – 183.

- Modèle type St Venant pour les avalanches rocheuses; M. Naaim S. Vial R. Couture.

- Les avalanches; P. Evesque P. Porion; Pour la science; n°187; Mai 1997; Pages 54 – 61.

- Grain flow as fluid mechanical phenomenon; P. K. Haff; J Fluid mechanic; Volume 134; 1993; Pages 401 – 430.

- Scaling laws in granular flows down rough inclined planes; O. Pouliquen; 1998, soumis dans "Physics of fluids".

- On granular surface flow équations, S. Douady, B. Androtti and A. Daerr, soumis dans "the European Physical journal". Annexes

Annexes

- Annexe 1 : Hstop/d = f(q)

- Annexe 2 : v = f(hmax/d)
- Annexe 3 : = f(hmax/d)

- Annexe 4 : tableau des vitesses intermédiaires et moyennes.

- Annexe 5 : = f(hmax/hstop)

- Annexe 6 : = f(hmax/hstop) avec droite de régression.

- Annexe 7 : surfaces de protection en fonction de l'angle de l'obstacle
triangulaire et l'angle d'inclinaison du plan.

ANNEXE 1

ANNEXE 2

Vitesse vs. H/d

Angle	24,33
Ouv	hmax	hmax/d	v(m/s)
3	15	30	0,286
4	15	30	0,371
5	14	28	0,505
8	13	26	0,43

Angle	25,78
Ouv	hmax	hmax/d	v(m/s)
1	7,2	14,4	0,102
2	14,75	29,5	0,244
4	17,55	35,1	0,146
6	16,15	32,3	1
8	14,93	29,86	1,43

Angle	27,19
Ouv	hmax	hmax/d	v(m/s)
1	7,7	15,4	0,139
2	11,9	23,8	0,278
4	16,71	33,42	0,55
6	14,8	29,6	1
8	15,15	30,3	1,43

Angle	28,57
Ouv	hmax	hmax/d	v(m/s)
1	5,31	10,62	0,192
2	9,43	18,86	0,43
4	12,7	25,4	0,9

ANNEXE 3

Angle	25,78
Ouv	hmax	hmax/d	v(m/s)	v/rac(g*d)	hmax/hstop
1	7,2	14,4	0,102	1,45639999	3,78947368
2	14,75	29,5	0,244	3,48393722	7,76315789
4	17,55	35,1	0,416	5,93982739	9,23684211

Angle	27,19
Ouv	hmax	hmax/d	v(m/s)	v/rac(g*d)	hmax/hstop
1	7,7	15,4	0,139	1,98470194	7,7
2	11,9	23,8	0,278	3,96940388	11,9
4	16,71	33,42	0,55	7,85313718	16,71

Angle	28,57
Ouv	hmax	hmax/d	v(m/s)	v/rac(g*d)	hmax/hstop
1	5,31	10,62	0,192	2,7414588	10,62
2	9,43	18,86	0,43	6,13972543	18,86
4	12,7	25,4	0,9	12,8505881	25,4

ANNEXE 4

Expérience n°	Angle en °	Ouverture	Vitesse dans les 20 premiers cm	Vitesse dans les 20 derniers cm	Moyenne sur les 40 cm
24	27,19	1	0.143	0.135	0.139
25	27,19	2	0.238	0.333	0.278
26	27,19	4	0.55	0.55	0.55
31	27,19	6	0.833	1.25	1
28	27,19	8	1.25	1.67	1.43
36	28,57	1	Doute	Doute	0.192
37	28,57	2	0.455	0.417	0.435
38	28,57	4	1	0.83	0.9
40	25,78	1	0.102	0.102	0.102
41	25,78	2	0.25	0.238	0.244
42	25,78	4	0.833	0.278	0.416
43	25,78	6	1	1	1
44	25,78	8	1.67	1.25	1.429

ANNEXE 5

Angle	25,78
Ouv	hmax	hmax/d	v(m/s)	v/rac(g*d)	hmax/hstop
1	7,2	14,4	0,102	0,38379509	3,78947368
2	14,75	29,5	0,244	0,64144484	7,76315789
4	17,55	35,1	0,416	1,00258284	9,23684211

Angle	27,19
Ouv	hmax	hmax/d	v(m/s)	v/rac(g*d)	hmax/hstop
1	7,7	15,4	0,139	0,50574889	7,7
2	11,9	23,8	0,278	0,81364847	11,9
4	16,71	33,42	0,55	1,35843844	16,71

Angle	28,57
Ouv	hmax	hmax/d	v(m/s)	v/rac(g*d)	hmax/hstop
1	5,31	10,62	0,192	0,84123913	10,62
2	9,43	18,86	0,43	1,41376786	18,86
4	12,7	25,4	0,9	2,54980017	25,4

ANNEXE 6

h/hstop	v/rac(g*h)
3,7895	0,3837951
7,7	0,5057489
7,7632	0,6414448
9,2368	1,0025828
10,62	0,8412391
11,9	0,8136485
16,71	1,3584384
18,86	1,4137679
25,4	2,5498002

Résumé

Cette étude expérimentale porte sur les écoulements de billes de verre sur des plan inclinés rugueux.
L’étude systématique de divers paramètres à permis de mettre à jour quelques relations. Toutes les valeurs pour notre système s’alignent sur une droite lorsque celle-ci est exprimée en terme de nombre de Froude fonction de h/hstop(?) :

La fonction hstop(?) qui contient toutes les informations sur l’influence de l’inclinaison et de la distribution de taille de billes est obtenue simplement en mesurant l’épaisseur du flux lorsque celui-ci se crée à une inclinaison ? donnée. On voit que cette fonction permet de décrire la dynamique des flux granulaires sur un plan incliné. Le rôle joué par cette fonction suggère que l’influence de la rugosité est prépondérante (cf. Pouliquen). La dynamique paraît résulter d’une interaction entre le diamètre des billes et la rugosité du plan.
Nous ne pouvons donc pas avoir d’interprétations précises de cette loi mais il a été montré que les mesures expérimentales peuvent fournir des informations sur les forces de frottements mises en jeu lors de l’écoulement. La formulation de cette relation empirique du coefficient de frottement, caractérisée par 2 angles et une longueur, peut être alors utilisée dans des configurations plus complexes. Elle peut par exemple être introduite dans des modèles d’avalanches pour modéliser les écoulements sur des topographies réelles.

Mots clés : avalanches, écoulement granulaire, écoulement uniforme, plan incliné, nombre de Froude, digitation, coefficient de frottement dynamique, obstacle.

	Diamètre des billes (mm)	Diamètre des billes sur le plan (mm)	q₁ (°)	q₂ (°)	L
Système 1	0.5+/-0.04	0.5+/-0.04	20.7	32.8	1.96
Système 2	1.3+/-0.13	1.3+/-0.13	21.7	26.4	1.23
Système 3	1.15+/-0.1	1.3+/-0.13	22.9	30.4	1.50
Système 4	0.5+/-0.04	1.3+/-0.13	20.9	29.1	2.9

Angle en °	Ouverture de la guillotine en cm	Vitesse en m.s^-1	*Hmax* en mm	*Hstop* en mm
25.8 +/-0.248	1	0.102 +/-2.54%	7.2 +/-4.77%	20 +/-0.5
	2	0.244 +/-5.37%	14.75 +/-4.73%
	4	0.416 +/-8.83%	17.55 +/-4.86%
27.2 +/-0.259	1	0.139 +/-3.27%	7.7 +/-4.73%	10 +/-0.5
	2	0.278 +/-6.05%	11.9 +/-4.71%
	4	0.55 +/-11%	16.71 +/-4.68%
28.6+/-0.277	1	0.192 +/-4.34%	5.31 +/-4.76%	5 +/-0.5
	2	0.43 +/-9.19%	9.43 +/-4.77%
	4	0.9 +/-18%	12.7 +/-4.73%